数量关系：巧解不定方程-四川金标尺教育

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对于方程，相信童鞋们都不陌生，它是我们在解数量关系题目时的常用方法之一。用方程求解问题的步骤，我相信大家都知道，设未知数、找等量关系、列方程、解方程，这so easy呀！但问题就在于不是所有的方程都能通过正常的方式解出未知数的值。

比如：2x+y=10，这里只有一个式子，无法解出x和y的具体值，x和y是有无数组解的。这种列式就是咱们今天要讨论的内容——不定方程。

一、什么是不定方程？

未知数的个数大于等式的个数，称为不定方程。在数量关系中，不定方程里的未知数的求解范围一般为整数、正整数、有理数，现如今大部分的题求解范围都是正整数。

虽然不定方程一般来说都有无数组解，但因为未知数的取值范围做了限定，进而导致不定方程的解变得有限甚至是唯一，故而可以通过一些小方法将不定方程中未知数的值求解出来。

二、不定方程求解方法

1.奇偶特性

【基础】加减：同奇同偶为偶，一奇一偶为奇，和差同性

乘：一个为偶则为偶，全部为奇则为奇

简单来说就是：奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数；

奇数-奇数=偶数；奇数-偶数=奇数；偶数-偶数=偶数；

奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数。

大家可以做一个小练习

【练习】两数和是奇数，那么差是；

两数和是奇数，那么两数；

两数和是偶数，那么两数。

两数乘积是奇数，那么两数；

乘积是偶数，那么至少有一个数是。

方程特征：方程中未知数的系数一奇一偶

如：ax+by=c，a、b为一奇一偶时考虑奇偶特性

【例1】已知7x+4y=86，其中x与y均为正整数，求x=?

A.13 B.14

C.15 D.17

【金标尺解析】B。4y为偶数，86为偶数，所以7x一定为偶数，因为7为奇数，所以x为偶数，符合条件的只有B项，故选B项。

2.尾数法

方程特征：方程中未知数系数以0或5结尾，可以根据尾数确定答案

如：ax+by=c，a、b以0或5结尾时考虑尾数法

【例2】已知6x+5y=434，其中x与y均为正整数，求x=?

A.21 B.34

C.45 D.62

【金标尺解析】B。434的尾数是4，则6x+5y的尾数是4，即6x的尾数+5y的尾数所得结果的尾数也是4。由于5y的尾数只能是0或5，则6x的尾数是4或9，由于6x是偶数，则6x的尾数只能是4，只有当x的尾数是4或9时才能保证6x的尾数是4，符合条件的只有B项，故选B项。

3.倍数法

方程特征：某个未知数的系数与常数有公约数，则另一个未知数必为该公约数的倍数

如：ax+by=c，a、c或b、c是某个数的倍数时考虑倍数法

【例3】已知6x+5y=435，其中x与y均为正整数，求x=?

A.21 B.34

C.45 D.62

【金标尺解析】C。由于5y和435都是5的倍数，则6x一定是5的倍数，又因为6不是5的倍数，则x一定是5的倍数，符合条件的只有C项，故选C项。

4.代入排除法：把选项代入题干当中，选出正确答案。

【例4】装某种产品的盒子有大、小两种尺寸，大盒子每盒能装11个，小盒每盒能装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子恰好装满，需要大、小盒子各多少个？

A.3，7 B.4，6

C.5，4 D.6，3

【金标尺解析】A。设大盒子有x个，小盒子有y个，由题意可知：11x+8y=89，代入A项，11×3+8×7=33+56=89，符合题意，正确；验证B项，11×4+8×6=44+48≠89，排除；同理代入C，D会发现不符合题干要求，故选A项。

以上四种方法是解决不定方程最常用的方法，可能有些童鞋有疑问：“万一我方程列出来了，但不知道用什么方法怎么办？”这种情况不用担心，这四种方法对于很多题都是可以混用的，甚至在一些题目里也会将多种方法结合在一起去求解。所以，在考场上，想到什么方法就用什么方法。

在数量关系里，有些题爱考不定方程，还有些题爱考不定方程组。那么不定方程组又该如何解决呢？

我们可以将不定方程组的问题分为两类：

1.不定方程组——求某个量的具体值

对于这种题型，我们需要将不定方程组通过消元法转化成不定方程，再通过上述的四大方法来求解。

【例5】某单位为业务技能大赛获奖职工发放奖金，一、二、三等奖每人奖金分别为 800、 700 和 500 元。11 名获一、二、三等奖的职工共获奖金 6700 元，问有多少人获得三等奖（）。

A.3 B.4

C.5 D.6

【金标尺解析】D。设获得一、二、三等奖的职工分别有x，y，z人。由题意得：x+y+z=11①，800x+700y+500z=6700，化简可得8x+7y+5z=67②，且x，y，z均为正整数。本题求z的值，通过消元可得2z-x=10。代入A项，2×3-x=10，得x=-4不为正整数，不符合题意，排除；同理代入B、C两项可得x均不为正整数，排除。故选D项。

2.不定方程组——某些量的和

比如已知3x+y+z=12①，4x+y+5z=27②，求x+y+z=?

对于这种题，我们的解题方法就是特值法。我们得知道，不定方程是有无数组解的，但数量关系只考单选题，也就是说任意一组解都能保证x+y+z的和是同样的结果，而在这无数组解中必定有一组解是其中一个未知数为0。因此对于这种题型的解题技巧就是将其中一个未知数设为0，进而将不定方程组转换为普通方程组，求出其余未知数的具体值，再求这些未知数的和。为了方便计算，一般我们将系数较大的未知数设为0，以下题为例：

【例6】甲买3支签字笔，7支圆珠笔，1支铅笔，共花32元钱；乙买同样的4支签字笔，10支圆珠笔，1 支铅笔，共花43元，若同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买1支，共用多少钱？

A．21 B．11

C．10 D．17

【金标尺解析】C。设签字笔、圆珠笔、铅笔的单价分别为x，y，z元。由题意可得：3x+7y+z=32①，4x+10y+z=43②。令y=0，可得3x+z=32③，4x+z=43④；联立③④式可得x=11，y=-1，则x+y+z=11+0-1=10，故选C项。

小伙伴们学会了吗？接下来就请大家小试牛刀。

1、某国家对居民收入实行下列税率方案：每人每月不超过3000美元的部分按照1%税率征收，超过3000美元不超过6000美元的部分按照X%税率征收，超过6000美元的部分按Y%税率征收（X,Y为整数）。假设该国某居民月收入为6500美元，支付了120美元所得税，则Y为多少？

A.6 B.3

C.5 D.4

2、（2016年上·四川）木匠加工2张桌子和4张凳子共需要10个小时，加工4张桌子和8张椅子需要22个小时。问如果他加工桌子、凳子和椅子各10张，共需要多少小时？

A.47.5 B.50

C.52.5 D.55

答案在最下方！