数量关系:巧解不定方程

2021-09-22 17:23:16

来源: 四川金标尺教育

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对于方程,相信童鞋们都不陌生,它是我们在解数量关系题目时的常用方法之一。用方程求解问题的步骤,我相信大家都知道,设未知数、找等量关系、列方程、解方程,这so easy呀!但问题就在于不是所有的方程都能通过正常的方式解出未知数的值。

比如:2x+y=10,这里只有一个式子,无法解出x和y的具体值,x和y是有无数组解的。这种列式就是咱们今天要讨论的内容——不定方程。

一、什么是不定方程?

未知数的个数大于等式的个数,称为不定方程。在数量关系中,不定方程里的未知数的求解范围一般为整数、正整数、有理数,现如今大部分的题求解范围都是正整数。

虽然不定方程一般来说都有无数组解,但因为未知数的取值范围做了限定,进而导致不定方程的解变得有限甚至是唯一,故而可以通过一些小方法将不定方程中未知数的值求解出来。

二、不定方程求解方法

1.奇偶特性

【基础】加减:同奇同偶为偶,一奇一偶为奇,和差同性

乘:一个为偶则为偶,全部为奇则为奇

简单来说就是:奇数+奇数=偶数;奇数+偶数=奇数;偶数+偶数=偶数;

奇数-奇数=偶数;奇数-偶数=奇数;偶数-偶数=偶数;

奇数×奇数=奇数;奇数×偶数=偶数;偶数×偶数=偶数。

大家可以做一个小练习

【练习】两数和是奇数,那么差是 ;

两数和是奇数,那么两数;

两数和是偶数,那么两数。

两数乘积是奇数,那么两数;

乘积是偶数,那么至少有一个数是。

方程特征:方程中未知数的系数一奇一偶

如:ax+by=c,a、b为一奇一偶时考虑奇偶特性

【例1】已知7x+4y=86,其中x与y均为正整数,求x=?

A.13         B.14          

C.15         D.17

【金标尺解析】B。4y为偶数,86为偶数,所以7x一定为偶数,因为7为奇数,所以x为偶数,符合条件的只有B项,故选B项。

2.尾数法

方程特征:方程中未知数系数以0或5结尾,可以根据尾数确定答案

如:ax+by=c,a、b以0或5结尾时考虑尾数法

【例2】已知6x+5y=434,其中x与y均为正整数,求x=?

A.21         B.34           

C.45         D.62

【金标尺解析】B。434的尾数是4,则6x+5y的尾数是4,即6x的尾数+5y的尾数所得结果的尾数也是4。由于5y的尾数只能是0或5,则6x的尾数是4或9,由于6x是偶数,则6x的尾数只能是4,只有当x的尾数是4或9时才能保证6x的尾数是4,符合条件的只有B项,故选B项。

3.倍数法

方程特征:某个未知数的系数与常数有公约数,则另一个未知数必为该公约数的倍数

如:ax+by=c,a、c或b、c是某个数的倍数时考虑倍数法

【例3】已知6x+5y=435,其中x与y均为正整数,求x=?

A.21         B.34           

C.45         D.62

【金标尺解析】C。由于5y和435都是5的倍数,则6x一定是5的倍数,又因为6不是5的倍数,则x一定是5的倍数,符合条件的只有C项,故选C项。

4.代入排除法:把选项代入题干当中,选出正确答案。 

【例4】装某种产品的盒子有大、小两种尺寸,大盒子每盒能装11个,小盒每盒能装8个,要把89个产品装入盒内,要求每个盒子恰好装满,需要大、小盒子各多少个?

A.3,7         B.4,6          

C.5,4         D.6,3 

【金标尺解析】A。设大盒子有x个,小盒子有y个,由题意可知:11x+8y=89,代入A项,11×3+8×7=33+56=89,符合题意,正确;验证B项,11×4+8×6=44+48≠89,排除;同理代入C,D会发现不符合题干要求,故选A项。

以上四种方法是解决不定方程最常用的方法,可能有些童鞋有疑问:“万一我方程列出来了,但不知道用什么方法怎么办?”这种情况不用担心,这四种方法对于很多题都是可以混用的,甚至在一些题目里也会将多种方法结合在一起去求解。所以,在考场上,想到什么方法就用什么方法。

在数量关系里,有些题爱考不定方程,还有些题爱考不定方程组。那么不定方程组又该如何解决呢?

我们可以将不定方程组的问题分为两类:

1.不定方程组——求某个量的具体值

对于这种题型,我们需要将不定方程组通过消元法转化成不定方程,再通过上述的四大方法来求解。

【例5】某单位为业务技能大赛获奖职工发放奖金,一、二、三等奖每人奖金分别为 800、 700 和 500 元。11 名获一、二、三等奖的职工共获奖金 6700 元,问有多少人获得三等奖(   )。

A.3             B.4            

C.5             D.6

【金标尺解析】D。设获得一、二、三等奖的职工分别有x,y,z人。由题意得:x+y+z=11①,800x+700y+500z=6700,化简可得8x+7y+5z=67②,且x,y,z均为正整数。本题求z的值,通过消元可得2z-x=10。代入A项,2×3-x=10,得x=-4不为正整数,不符合题意,排除;同理代入B、C两项可得x均不为正整数,排除。故选D项。

2.不定方程组——某些量的和

比如已知3x+y+z=12①,4x+y+5z=27②,求x+y+z=?

对于这种题,我们的解题方法就是特值法。我们得知道,不定方程是有无数组解的,但数量关系只考单选题,也就是说任意一组解都能保证x+y+z的和是同样的结果,而在这无数组解中必定有一组解是其中一个未知数为0。因此对于这种题型的解题技巧就是将其中一个未知数设为0,进而将不定方程组转换为普通方程组,求出其余未知数的具体值,再求这些未知数的和。为了方便计算,一般我们将系数较大的未知数设为0,以下题为例:

【例6】甲买3支签字笔,7支圆珠笔,1支铅笔,共花32元钱;乙买同样的4支签字笔,10支圆珠笔,1 支铅笔,共花43元,若同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买1支,共用多少钱?

A.21             B.11             

C.10             D.17

【金标尺解析】C。设签字笔、圆珠笔、铅笔的单价分别为x,y,z元。由题意可得:3x+7y+z=32①,4x+10y+z=43②。令y=0,可得3x+z=32③,4x+z=43④;联立③④式可得x=11,y=-1,则x+y+z=11+0-1=10,故选C项。

小伙伴们学会了吗?接下来就请大家小试牛刀。

1、某国家对居民收入实行下列税率方案:每人每月不超过3000美元的部分按照1%税率征收,超过3000美元不超过6000美元的部分按照X%税率征收,超过6000美元的部分按Y%税率征收(X,Y为整数)。假设该国某居民月收入为6500美元,支付了120美元所得税,则Y为多少?

A.6             B.3             

C.5             D.4

2、(2016年上·四川)木匠加工2张桌子和4张凳子共需要10个小时,加工4张桌子和8张椅子需要22个小时。问如果他加工桌子、凳子和椅子各10张,共需要多少小时?

A.47.5         B.50            

C.52.5         D.55

答案在最下方!

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答案:A、C

 

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